汽车计算多刚体动力学概述

一、多体系统动力学研究状况

工程领域对机械系统的研究主要有两大问题。第一个问题是涉及系统的结构强度分析。由于计算结构力学的理论与计算方法的研究不断深入。加之有限元（FEA）应用软件系统成功开发并应用，这方面的问题已经基本得到解决；另一个问题是要解决系统的运动学、动力学与控制的性态问题，也就是研究机械系统在载荷作用下各部件的动力学响应。作为大多数的机械系统，系统部件相互连接方式的拓扑与约束形式多种多样，受力的情况除了外力与系统各部件的相互作用外，还可能存在复杂的控制环节，故称为多体系统。与之适应的多体动力学的研究已经称为工程领域研究的热点和难点。

多体系统动力学的核心问题是建模和求解，其系统研究开始于20世纪60年代。起始于20世纪70年代的基于多体系统动力学的机械系统动力学分析与仿真技术，随着计算机技术，以及计算方法的不断进步，到了20世纪90年代，在国内外已经成熟并成功地应用于工业界，成为当代进行机械系统设计不可或缺的有力工具之一。

多体系统是指由多个物体通过运动副连接的负载机械系统。多体系统动力学的根本目的是应用计算机技术进行负载机械系统的动力学分析与仿真。它是在经典力学基础上产生的新学科分支，在经典刚体系统动力学的基础上，经历了多刚体系统动力学和计算多体系统动力学两个发展阶段，特别是在前者已经趋于成熟。

多体动力学是以多体系统动力学、计算方法，以及软件工程相互交叉为主要特点，面向工程实际问题新学科。计算多体动力学是指利用计算机数值手段来研究负载机械系统静力学分析、运动学分析、动力学分析，以及控制系统分析的理论和方法。计算多体动力学的产生极大地改变了传统机构动力学分析面貌，对于原先不能够求解或者求解困难的大型复杂问题，可以借助计算机顺利完成。

在20世纪80年代初，Haug等人提出了“计算多体动力学”的概念，认为其主要任务如下：

建立复杂机械系统运动学和动力学程式化的数学模型，开发实现这个数学模型的软件系统，再输入少量描述系统特征的数据、由计算机自动建立系统运动学与动力学方程。

建立稳定的、有效的数值计算方法，分析弹性变形对静态偏差、稳定性、动态响应的影响，通过仿真由计算机自动产生系统的动力学响应。

将仿真结果通过计算机终端以方便直观的形式表达出来。实现有效数据后处理，采用动画显示、图标或者其他方式提供数据后处理。

二、多刚体系统建模理论简介
多体系统动力学是基于经典力学理论的，多体系统中最简单的情况（自由质点）和一般简单的情况（少数多个刚体），是经典力学的研究内容。多刚体系统动力学就是为多个刚体组成的复杂系统的运动学和动力学分析建立适宜计算机程序求解的数学模型，并寻求高效、稳定的数值解法。由经典力学逐步发展形成了多刚体系统动力学，在发展过程中形成了各具特色的多个流派。

对于由多个刚体组成的复杂系统，理论上可以采用经典力学的方法，即以牛顿—欧拉方程为代表的矢量力学方法和以拉格朗日方程为代表的分析力学方法。这种方法对于单刚体或者少数几个刚体组成的系统是可行的，但随着刚体数目的增加，方程复杂度成倍增长，寻求其解析解往往是不可能的。由于计算机数值计算方法的出现，使得面向具体问题的程序数值方法成为求解复杂问题的一条可行道路，即针对具体的多刚体问题列出其数学方程，再编制数值计算程序进行求解。对于每一个具体的问题都要编制相应的程序进行求解，虽然可以得到合理的结果，但是这个过程长期的重复是让人不可忍受的，于是寻求一种适合计算机操作的程式化的建模和求解方法变得迫切需要了。20世纪60年代初期，在航天领域和机械领域，分别开展了对于多刚体系统动力学的研究，并形成了不同派别的研究方法。如罗伯森·维腾堡（Robeson·Wittenburg）方法、凯恩（Kane）方法、旋量方法和变分方法等。

对于多刚体系统，从20世纪60~80年代，在航天和机械两个领域形成了两类不同的数学建模方法，分为称为拉格朗日方法和笛卡尔方法；20世纪90年代，在笛卡尔方法的基础上又形成了完全笛卡尔方法，这几种建模方法的主要区别在于对刚体位形描述的不同。

航天领域形成的拉格朗日方法，是一种相对坐标方法，以罗伯森·维腾堡（Robeson·Wittenburg）方法为代表，是以系统每个铰的广义坐标（又称拉格朗日坐标）来描述，广义坐标通常为连接刚体之间的相对转角或位移。这样，开环系统的位置完全可由所有铰的拉格朗日坐标阵所确定。其动力学方程的形式为拉格朗日坐标阵的二阶微分方程组，即



这种形式首先在解决拓扑为树的航天器问题时推出。其优点是方程个数最少，树系统的坐标数等于系统自由度，而且动力学方程易转化为常微分方程组（ODEs-Ordinary Differential Equations）。但方程显严重的非线性，为了使方程具有程式化与通用性，在矩阵与中常常包含描述系统拓扑的信息，其形式相当复杂，而且在选择广义坐标时需人为干预，不利于计算机自动建模。不过目前对于多体系统动力学研究比较深入，现在又几种应用软件采用拉格朗日的方法也取得了较好的效果。

对于非树系统，拉格朗日方程要采用切割铰的方法以消除闭环，引入了额外的约束，使得产生的动力学方程为微分代数方程，不能直接采用常微分方程算法去求解，需要专门的求解技术。

机械领域形成的笛卡尔方法是绝对坐标方法，即Chace和Haug提出的方法，以系统中每一个物体为单元，建立固结在刚体上的坐标系，刚体的位置相对于一个公共参考基进行定义，其位置坐标（又称广义坐标）统一为刚体坐标系基点的笛卡尔坐标与坐标系的方位坐标，方位坐标可以选用欧拉角或欧拉参数。单个物体位置坐标系统在二维系统中为3个，在三维坐标系统中为6个（如果采用欧拉参数为7个）。对于由N个刚体组成的系统，位置坐标阵中的坐标个数为3N（二维）、6N或7N（三维），对于铰约束的存在，这些位置坐标不独立。系统动力学模型的一般形式可表示为



这类数学模型就是微分—代数方程组（DAE-Differential Algebraic Equations），又称为欧拉—拉格朗日方程组（Euler—Lagrange Equations），其方程个数较多，但系数矩阵显稀疏状，适用于计算机自动建立统一的模型进行处理。笛卡尔方法对于多刚体系统处理不区分开环与闭环（即树系统与非树系统），统一处理。目前国际上最著名的两个动力学分析商业软件ADAMS和DADS都是采用这种建模方法。

完全笛卡尔坐标法，是由Gracia和Bayo于1994年提出，是另一种形式的绝对坐标方法。这种方法的特点是避免使用一般笛卡尔方法中的欧拉角或欧拉参数，而是利用与刚体固结的若干参考点与参考矢量的笛卡尔坐标描述刚体空间位置与姿态。参考点选择在铰中心，参考矢量沿铰的转轴或移动轴，通常可由多个刚体共享而使未知变量减少。完全笛卡尔坐标所形成的动力学方程与一般笛卡尔方法本质相等，只是其雅可比矩阵为坐标线性函数，便于计算。

三、多体系统动力学建模与求解

利用利用计算多体动力学对机械系统进行分析，其实质实质是建立其系统的多体动力学方程并对其进行求解，对于多刚体系统笛卡尔方法产生的动力学数学模型，也就是著名的微分—代数方程组（DAEs），多体动力学数值仿真核心问题的实质是对DAE方程初值问题的处理，以及方程的求解计算方法，这也是计算多体系统动力学领域的热点问题。