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电池模组一致性影响因素在放电电压曲线簇上的表征
2020-05-13 23:38:36· 来源：电动学堂
0引言随着电动汽车和电池储能技术的不断发展，动力电池备受关注。然而，由于现阶段单体锂离子电池技术尚未达到超大容量和超大功率水平，电池系统均先由电池单体
0引言
随着电动汽车和电池储能技术的不断发展，动力电池备受关注。然而，由于现阶段单体锂离子电池技术尚未达到超大容量和超大功率水平，电池系统均先由电池单体（以下简称单体）串并联组合成电池模组（以下简称模组），再由模组串并联组成电池系统。
已有研究表明，单体之间容量、内阻和开路电压等参数的不一致性，会导致电池系统的比能量和比功率远远小于单体水平，且易引发模组内部单体间的过充和过放等现象，缩短模组寿命，造成资源严重浪费。为解决上述问题，当前研究主要集中于电池的一致性分析及基于外部设备（电池管理系统等）的均衡控制策略两方面，本文侧重于前者研究，不对均衡控制展开讨论。
对电池模组进行一致性分析，关键是确定一致性表征指标。文献分别以单体内阻、电压、容量中某一参数为一致性表征指标，并在此基础上提出同时考虑容量、电压和内阻等多个因素的一致性表征指标。文献兼顾单体容量、内阻和电压等参数，提出了单体一致性聚类参量。上述文献均仅仅考虑了单体成组前的初始状态量对一致性的影响，忽略了电池运行中状态变化率（内阻变化率、容量衰减率、库仑效率等）对一致性的影响。
为改进上述不足，文献通过自组织图的方式，以充放电过程中荷电状态的改变量作为一致性表征指标。文献则提出了一种针对电池充电热行为的一致性表征指标。上述文献从侧面寻求一个可表征电池一致性影响因素（以下简称影响因素）的综合指标，与此同时，却将各种影响因素不分主次地同等对待，对模组不一致原因分析无益。
实际上，模组内单体放电电压曲线簇是模组内单体所有参数的外在表现，研究模组放电电压曲线簇，对模组内一致性分析具有重要意义。文献基于不同电池放电电压曲线，提出了基于电压曲线间欧姆距离和曲率的一致性表征指标。同文献一样，上述文献也将各种影响因素不分主次地同等对待，对后续模组不一致原因分析无益。
本文针对模组内单体放电电压曲线簇，提出一种模组一致性影响因素在放电电压曲线簇上的表征方法。首先，综合考虑电池Rint等效电路、热效应、容量衰减、库仑效率以及内阻增长等因素，构建多维参数的电池数学模型，剖析影响因素及其内在关系；在此基础上，提出一种基于变换矩阵的影响因素在放电电压曲线簇上的表征方法；再次，基于所构建的电池模型和所提表征方法，以四节单体串联模组为例，在Matlab/Simulink环境下搭建电池模组仿真模型，研究随着充放电循环次数的增加，模组一致性影响因素在放电电压曲线上的表征特点；最后，从电池模组容量衰减角度，对所提的影响因素在放电电压曲线簇上的表征方法和所得仿真结果进行了验证。
1电池模型
模组是由单体串并联组成，对电池模组建模，需首先构建单体模型。
1.1单体模型
常用单体模型主要有等效电路模型、神经网络模型和电化学模型等，其中等效电路模型有Rint模型、戴维南模型、PNGV模型等。使用时，根据需求，选择不同模型。本文兼顾模型精度和计算的复杂度，以电池的等效电路为基础，综合考虑其内阻增长、热累积、库仑效率和容量衰减等效应，构建多维参数的单体模型。
1.1.1电池等效电路模型
本文关注的是稳态电流下的电池参数，而非电池的暂态特性，故等效电路选Rint模型，如图1所示。
图1电路表达式为
式中，E为电池端电压，可通过测量获得；Uocv为电池开路电压，可通过OCV-SOC曲线获得；R为内阻，可通过内阻增长模型获得；I为电池的充放电电流。
假设OCV-SOC曲线表达式为
而荷电状态（StateofCharge,SOC）表示为
式中，C为当前电池容量，可通过容量衰减模型获得；Cr为当前电池电量，表示为
式中，C0为电池的初始容量；SOC0为电池的初始SOC；为电池的库仑效率，可由库仑效率模型计算获得；t为电池的充放电时间。
1.1.2内阻增长模型
文献提出在温度不变的情况下，内阻增长相对时间是线性变化的。文献在此基础上，引入了内阻变化率，通过内阻对时间微分，得到变化温度下电池内阻的增长情况为
式中，kR为内阻增长系数，取值为0.05Ω/s；Ea为反应活化能，取值为30000J/mol；T为电池单体热力学温度，可由热模型获得。
单体初始内阻R0可由SOC、温度与内阻的关系获得，故任意时刻电池内阻为
1.1.3电池热模型
本文采用简单的热源传热模型来表征电池热模型为
式中，T0为环境温度；A为散热面积；m为质量；cp为单体比热容；q为散热系数。
1.1.4库仑效率模型
单体库仑效率一般较高，难以精确测定。但随着温度的升高，电池的库仑效率呈下降趋势。文献拟合了库仑效率随温度变化的表达式为
式中，kη为库仑效率的温度系数，取值为-0.02%。
1.1.5容量衰减模型
电池在恒定电流和温度下，一段时间内容量衰减可近似地通过每个小时间段内容量衰减损失叠加获得，故引入了容量衰减率为
式中，Closs为电池的容量衰减量；IN为电池的充放电倍率；K为气体常数；Ah为电池在整个充放电过程中的吞吐总电量与初始容量C0的比值。
由式（9），任意时刻，电池容量可表示为
1.2放电电压曲线簇一致性影响因素及其内在关系
放电电压曲线簇为模组内单体端电压的外在表现形式。基于1.1节所构建电池模型可知，若电池型号及批次一致，影响模组内单体间端电压一致性的主要因素有内阻、环境温度、库仑效率、内阻增长率、容量、容量衰减率、SOC等，电池端电压一致性影响因素关系如图2所示。
由Rint模型可知，在充放电电流一定的情况下，单体间放电电压曲线的一致性主要由单体内阻差异和单体开路电压差异导致。单体间内阻的差异会导致单体间温度的差异（见式（7））；而单体间温度的差异会导致单体间库仑效率（见式（8））、内阻变化率（见式（5））和容量衰减率（见式（9））的差异；内阻变化率的差异会进一步加剧内阻间差异（见式（6））；库仑效率的差异会导致SOC的差异（见式（3）、式（4））；容量衰减率的差异会导致容量的差异（见式（10））；容量的差异同样会导致SOC的差异（见式（3））；而SOC的差异通过OCV-SOC曲线，加速开路电压不一致（见式（2））和内阻不一致。
综上，可将放电电压曲线簇不一致的影响因素分为两类：初始状态量和状态变化率。初始状态量主要包括初始内阻（R0）、初始容量（C0）、温度（T0）和初始SOC（SOC0）；状态变化率主要包括内阻变化率（Rt），容量衰减率（Ct）和库仑效率（η）。
1.3模组模型
基于电池单体模型，以四单体串联为例，建立电池模组模型如图3所示。后续研究分析皆基于此模型展开。
2一致性影响因素在放电电压曲线上表征方法
理想状态下，模组内各个单体参数一致，其外在表现为放电电压曲线重合；现实中，由于生产工艺等原因，单体间参数存在差异，且该差异会随着电池充放电次数的增加而不断增大，其外在表现为不同单体的放电电压曲线的位置差异越来越大，但放电电压曲线的形态却几乎相同。
对于模组内任意两单体的两条放电电压曲线，可认为其中一条经过拉伸、平移、旋转等变换后，与另一条曲线重合，放电电压曲线变换如图4所示。
图4 中，曲线①和曲线②为两条放电电压曲线，曲线①经过变换成为曲线③，曲线③位置为曲线①与曲线②的最佳重合位置。
考虑变换的几何意义，上述过程可用变换矩阵A表示。
2.1变换矩阵A的求解方法
对于模组内任意两单体电压特性曲线①和②，假设曲线①上有m个点，点集合为Q={q1,q2,...,qm}，曲线②上有n个点，集合为P={p1,p2,...,pn}，且m≥n。
（1）针对P中的每个点pi（1≤i≤n），分别在Q中寻找与其距离最近的点。
设pi坐标为（xpi,ypi），qj坐标为（xqj,yqj），由于横轴为时间，纵轴为电压，二者量纲不统一，若求距离，需首先对坐标归一化为
因此，pi与qj两点之间的距离为
这样，可在点集Q中寻找到一个新的点集，Q'={q'1,q'2,...,q'n}，该点集中的点与点集P中的点一一对应，且距离最近，并设点q'i坐标为（x'qi , y'qi）。
（2）对点集 P 中的每个点 pi，进行变换 A( pi )，并基于式（14），通过最小二乘法，求取A 矩阵。
（3）设定阈值ε，将所求矩阵A 代入式（15）。
若 f (A)小于阈值，则认为Q'为 P 与 Q 的最佳重合位置；若 f (A)大于阈值，则令 P= A( pi ) ，并重复第一步，直到式（15）小于阈值。
为方便表示，定义A 为3 维矩阵，用a～f 分别表征矩阵中参数，即
点集 P 与Q'上的相对应的点存在以下关系
2.2 基于变换矩阵的放电电压曲线几何参量提取
进一步地，可将A 写作
其中
定义矩阵 R 为拉伸旋转矩阵，其对应放电电压曲线②的拉伸旋转变换；定义矩阵T 为平移矩阵，对应放电电压曲线②的平移变换。
平移矩阵 T 中元素分别为曲线②中的点的平移量，其为具体数值，可直接用来分析；而拉伸旋转矩阵R 由于涉及了拉伸、旋转、错切等变换，不能直接用其中元素进行分析，故需对其进一步研究。
基于矩阵的几何意义，R 矩阵所包含的拉伸、旋转和错切等指标，均可转换为在特征向量方向的拉伸，拉伸的幅度正好为特征值大小。
由于矩阵 R 为满秩矩阵，求取矩阵R 的特征值λ1和λ2 ，对应的特征向量为α1 和α2 ，进而可确定总拉伸矢量为
这样，基于变换矩阵A，就构造了模组一致性影响因素在放电电压曲线上的表征指标——拉伸矢量β和平移矩阵T。进一步地，可将表征指标具体化为矢量幅值r、矢量相位θ、平移量Tx 和平移量Ty 四个指标。
3 模组一致性影响因素在放电电压曲线上的表征
由第 1 节可知，模组一致性影响因素较多，且随时间渐变，若设计实验研究影响因素在电压特性曲线上的表征，要对大量单体筛选成组，且需进行电池长时间循环充放电，主要难题是极其难以实现单因素变量控制。因此，本研究以仿真研究分析为主。
3.1 仿真参数设计
仿真采用理想电池组，七种影响因素中，令六种影响因素在成组之初保持一致，只改变一种因素，而每种因素的差异性再根据实际情况分为一致性很好、较好和差三种情景。考虑到电池参数基本服从正态分布，而电池企业在对电池进行成组时，一致性较好的电池参数选取标准多控制在两倍标准差内，故三种情景分别取一倍标准差（S1）内（一致性很好）、两倍标准差（S2）内（一致性较好）和三倍标准差（S3）内（一致性差）。具体仿真参数见表1。
七种一致性影响因素，每种因素对应的三种情景分别在循环充放电200、400、600、800 和1 000次时，对电压曲线采样，分析模组一致性影响因素的表征指标矢量幅值r、矢量相位、平移量Tx 和平移量Ty 的变化特点。
3.2 仿真结果与分析
由于模组一致性是由内部性能最优单体和性能最恶劣单体二者共同决定的，因此，在研究一致性影响因素表征指标的变化特点时，仅对模组内差异性最大的两条电压曲线展开分析讨论。
3.2.1 初始容量（C0）不一致
图 5 为C0 不一致在电压曲线上的表征指标随N的变化趋势。
由图 5，当初始容量存在差异时，同一标准差下，随充放电循环次数的增加，矢量的幅值、相位及平移量Tx 与Ty 均基本不变。表明了仅初始容量存在差异时，模组内部单体之间的一致性不随充放电循环次数的增加而恶化。
3.2.2 初始SOC（SOC0）不一致
随N 的变化趋势。由图6，当SOC0 存在差异时，同一标准差下，随充放电循环次数的增加，矢量幅值、相位及平移量Tx 与Ty 均基本不变。表明了仅初始SOC 存在差异时，模组内部单体之间的一致性并不随充放电循环次数的增加而恶化。
3.2.3 库仑效率（η）不一致
图 7为η不一致在放电电压曲线上的表征指标随N 的变化趋势。
由图 7，库仑效率存在差异时，相同标准差下，随着充放电循环次数的增加，矢量相位变化不大，幅值明显减小，平移量Tx 与Ty 初期变化不大，后期明显徒增，且变化率越来越大，表明库仑效率存在差异时，模组内部单体之间的一致性随充放电循环次数的增加而恶化。
3.2.4 容量衰减率（Ct）不一致
图 8 为Ct 不一致在放电电压曲线上的表征指标随N 的变化趋势。由图8，容量衰减率存在差异时，相同标准差下，随着充放电循环次数的增加，拉伸矢量幅值和相位明显增大，平移量Tx 恒为0，平移量Ty 呈稍微减小的趋势，表明容量衰减率的差异也会加速模组内一致性的恶化。
对比图 7 和图8，随着充放电循环次数的增加，库仑效率和容量衰减率的不一致均会恶化模组一致性，二者最明显的区别在于前者矢量相位变化不大，后者平移量Tx 恒为0。
值得注意的是，图8d 中折线在S1 和S2 两种情景下，当N 取200、400 和600 时，Ty 均基本不变，但当N 取800 时，Ty 下降明显。由图2 可知，Ct 不一致会直接引发电池单体间C 不一致，进而影响单体间SOC 差异，故分别测量单体间容量归一化极差和SOC 极差如图9 所示。
由图 9，S1 情景下N 在200～600 之间时，单体间容量极差逐渐增加，但其SOC 极差却变化不大；当N 超过600 次后，单体容量极差进一步增加，此时SOC 极差明显增大。由图2，SOC 的变化可直接影响放电电压曲线的形态，而图9 中SOC 极差的变化趋势与图8d 中S1 折线的变化相对应。S2 和S3 两种情景折线的分析与此类似，这里不再赘述。
3.2.5 环境温度（T0）不一致
图 10 为T0 不一致在放电电压曲线上的表征指标随N 的变化趋势。由图10，初始环境温度不一致时，相同标准差下，随着充放电循环次数的增加，拉伸矢量幅值减小，相位呈增大趋势；平移量Tx 和平移量Ty 数值均增大，表明环境温度不一致会加速模组内单体一致性的恶化。
图 10d 中，当N 在600 左右时，三条曲线折线发生明显变化。由图2 可知，环境温度可以通过影响库仑效率、容量衰减率等因素，进而引发单体间SOC 不均衡，导致放电电压曲线间产生位置差异，故测量环境温度不一致情况下单体SOC 极差曲线，T0 不一致时单体SOC 的影响如图11 所示。
从图 11 可知，温度差异会明显导致单体SOC产生差异，尤其当N 超过600 次后，单体间SOC的差异性极其明显，模组内一致性急剧恶化，这就是图10d 中N 在600 左右发生突变的原因。
3.2.6 初始内阻（R0）不一致
图 12 为R0 不一致在放电电压曲线上的表征指标随N 的变化趋势。
由图 12，R0 存在差异时，同一标准差下，随着充放电循环次数的增加，矢量相位呈先减小，后增大的趋势，而幅值则呈减小趋势；平移量Tx 和Ty则随着充放电循环次数的增加而增大，表明初始内阻不一致会加速模组内一致性的恶化。
为分析图12b 和图12d 的折线的变化原因，分别测量单体内阻极差和SOC 极差如图13 所示。由图13，随着充放电循环次数的增加，单体间内阻极差逐渐增大，而内阻的不一致逐渐引发温度的不一致，进而引发单体SOC 的不均衡。当N＜800 时，内阻极差变化明显，但SOC 极差变化不大，故此时对放电电压曲线差异起决定性作用的因素是内阻差异；随着N 的进一步增大，SOC 极差开始出现明显变化，此时对放电电压曲线位置差异起决定性作用的因素是温度差异。
进一步地，以图12d 为例，将其同图10 与图12的Ty 比较如图14 所示。
图14 中，1 段为内阻作用区，在此阶段，内阻数值明显增大，其为影响放电电压曲线形态差异的主要因素；2 段和3 段为温度作用区，在此区间，内阻发热加剧单体间温度不均衡，引发单体间SOC不一致，加速模组一致性的恶化。实际上，可将图14b 看作图14a 的延续，二者可通过2 段相互连接起来。
3.2.7 内阻增长率（Rt）不一致
图 15 为Rt 不一致在放电电压曲线上的表征指标随N 的变化趋势。
由图15，Rt 不一致时，同一标准差下，随着充放电循环次数的增加，初期矢量幅值和相位均基本不变，但是当循环次数到达一定数值时，相位增大，幅值减小；平移量Tx 初期变化不大，但后期相对增大，平移量Ty 则均经历上升-下降-再上升的过程，且标准差越大，变化时刻对应的充放电循环次数越少。
图 15d 中折线变化原因的分析方法与图12～图14 的方法类似，这里不再详细展开。值得注意的是，类比图14，将图15d 和图12d 作比较如图16 所示。
类似地，将图16 中二者的Ty 分为四段：1 段为内阻差异积累区，在此阶段，内阻增长率差异累积导致单体间内阻差异成为放电电压曲线位置不同的主要原因；2 段为容量衰减率作用区，在此阶段，内阻增长率差异间接引发的容量衰减率差异是影响放电电压曲线位置差异的主要原因；二者的3 段和4 段则分别对应于图13 中的1 段和2 段，其变化原因前文基于图13 已经做出解释，这里不再赘述。实际上，图15b 可看作是图15a 的延续，即二者通过3 段和4 段相互连接起来。
3.3 仿真
综上，同一标准差下，七种影响因素在放电电压曲线簇上的表征结果见表2。
4 基于容量衰减对一致性影响因素在放电电压曲线上表征结果的验证
随充放电循环次数增加，模组一致性的变化，除可用放电电压曲线表征外，还可用容量衰减进行度量。本节基于第1 节所建立的模组模型，从电池容量衰减角度出发，对第2 节所提表征方法和第3 节所得表征结果进行验证。
图 17～图23 分别为初始容量不一致、初始SOC不一致、库仑效率不一致、容量衰减率不一致、环境温度不一致、初始内阻不一致和内阻变化率不一致时，不同标准差下的模组内单体最小容量（Cmin）的健康状态（State of Health, SOH）（见图a 中的虚线）、模组容量（Cpack）SOH（见图a 中的实线）和模组内单体容量极差（见图b）。
由图 17a 可知，初始容量不一致时，不同标准差下模组容量曲线几乎保持平行，即模组容量衰减速率基本保持一致；图17b 同一标准差下，模组内部单体间容量差值基本不随充放电循环次数的增加而改变。表明初始容量不一致不会对模组一致性产生影响，验证了图5 所得结论。
图18 所得结论与图17 类似，表明初始SOC 不一致不会对模组一致性产生影响，验证了图6 所得结论。
由图19a 可知，库仑效率不一致时，不同的标准差下，模组之间容量与单体最小容量之间的差值随着充放电循环次数的增加而不断增大，表明库仑效率不一致会加速模组容量衰减，验证图7 所得结论；图19b 同一标准差下，模组内单体间容量极差随着充放电循环次数的增加而增加，但数量级为10（-5次方），基本可忽略不计，表明尽管库仑效率不一致对模组容量衰减十分显著，但对模组内单体容量衰减的差异作用并不大。
从图 20a 可知，不同的标准差下，模组容量与单体最小容量之间的差值随着充放电循环次数的增加而增加，表明容量衰减率不一致会加速模组容量的衰减；图20b 中同一标准差下，随着充放电循环次数的增加，模组内部单体间容量极差也随之增加。表明了容量衰减率不一致会加速恶化模组内单体间的容量一致性，验证了图8 所得结论。
对比图 19 和图20，单体间库仑效率的差异性和容量衰减率差异性均会加速模组容量衰减。二者的区别在于：①库仑效率不一致导致单体间放电SOC 区间不一致，进而使得模组容量衰减，而容量衰减率不一致则直接影响模组内单体容量不一致；②库仑效率不一致对模组内单体最小容量的影响不随标准差的改变而改变。
从图 21a 可知，环境温度不一致时，不同标准差下，模组容量与单体最小容量之间的差值随着充放电循环次数的增加而不断增大；从图21b 可知，随着充放电循环次数的增加，模组内单体间容量极差逐渐增大。表明环境温度不一致会加速模组容量衰减，验证了图10 所得结论。
对比图 21 和图22，图22 曲线的变化趋势与图21 完全一致，表明了内阻不一致主要通过影响温度进而影响电池模组一致性，这就验证了图12 所得结论。
从图23 可知，不同的标准差下，模组容量曲线几乎重合，直到N=600 时，才发生变化，表明了初期内阻变化率不一致对模组一致性影响并不大，直到其累积效应显著后，才会使模组一致性发生较明显改变，验证了图15 所得结论。
5 结论
本文基于电池单体模型，提出了一种基于变换1846 电工 技 术 学 报 2020年4 月矩阵的模组一致性影响因素在放电电压曲线簇上的表征方法，在此基础上，通过仿真，研究了各种影响因素在放电电压曲线上表征的特点，并从容量衰减角度，对所提表征方法和仿真结果进行了验证。
结论如下：
1）单体间初始容量和初始SOC 的差异不会加速模组的一致性恶化。同一标准差、二者的拉伸矢量和平移量不随充放电循环次数的增加而改变。
2）单体间库仑效率和容量衰减率的差异均会加速模组一致性恶化。同一标准差、二者的拉伸矢量和平移量均随充放电循环次数的增加发生明显变化。
3）单体间温度的差异会造成模组一致性恶化，且温度差异主要通过影响库仑效率产生差异，进而影响模组一致性。其拉伸矢量和平移量的变化趋势与库仑效率不一致时的变化趋势相同。
4）单体初始内阻和内阻变化率的差异短时间内均不会明显影响模组一致性，但充放电循环次数的增加，内阻累积会逐渐引发热量累积，导致温度不一致，进而加速模组一致性恶化。同一标准差、二者拉伸矢量和平移量的变化趋势最终与温度不一致时的变化趋势相同。
下一步需要在本文研究基础之上，利用所引入的模组一致性表征参量——拉伸矢量和平移量，基于模组的放电电压曲线，实现模组的快速分选与成组，以应对当前退役电池再利用时分选效率低下的现状。
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