关于有效模态质量的几点思考

很多文献建议根据有效模态质量来确定所需的模态数量，其实这个方法有非常大的局限性。有效模态质量仅针对约束模态，只适用于基础激励引起结构响应的情况。而且很多情况下，仅靠有效模态质量并不能正确反映模态对结构响应的贡献大小。

最近抽时间读了几篇关于有效模态质量的文献，做了一些笔记，自己也做了一些公式推导。整理出一篇短文章与大家分享。

本文首先讨论刚体位移模态参与因子的性质，进而讨论有效模态质量的定义和其物理意义，最后总结有效模态质量概念的适用范围。

1刚体位移模态参与因子和动力学方程解耦
我们以一个包含n个集中质量，每个集中质量仅有一个x向运动自由度的振动系统为例，如图1所示。



图1 多自由度振动系统承受基础激励

该系统固定在基础上，基础的振动导致系统的振动，运动方程如下：



其中{U}为各集中质量相对于基础的位移，üb(t)为基础的运动加速度，[M]、[C]和[K]分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，{I}为n阶单位向量。

在线性范围内，结构位移响应可以做模态变换，由物理坐标转换为模态坐标，



其中{φi}为第i阶约束模态向量，qi为第i阶模态坐标。

表示系统刚体位移的单位向量{I}也可以表示为各阶模态向量{φi}的线性叠加，即

其中γi我们称之为刚体位移模态参与因子，表征的是系统不发生弹性变形，仅跟随基础发生刚体位移时，各阶约束模态的贡献量。

系统的质量阵[M]和刚度阵[K]满足模态正交性条件，我们假定阻尼矩阵[C]为经典阻尼，则阻尼矩阵[C]也满足模态正交性。这样动力学方程（1）可以解耦为n个独立方程。

其中Mi、Ci和Ki分别为第i阶模态质量、模态阻尼和模态刚度，其定义如下：

求解这n个独立方程，解得各阶qi，再利用公式(2)，即可得到未知量{U}。

方程（4）可以看作将基础的振动加速度激励按各阶模态进行分解，得到n个单自由度方程，刚体位移模态参与因子γi也就是加速度激励分解因子。

结构模态向量{φi}仅仅是反映各节点（注意不是指模态节点）位移量的比值，可以乘以任意常数因子，所以γi的数值不固定。Mi、Ci和Ki的数值也不固定，只是保持相同的比例关系，如下式，

其中ωi为第i阶固有频率，ζi为第i阶模态阻尼比。

也就是说解耦后的单自由度方程，可以看做一个振动质量为Mi的单自由度振动系统，如图2所示。该单自由度系统的阻尼比和固有频率是确定的，但其质量Mi以及加速度载荷因子γi的取值并不唯一，而是跟模态向量{φi}的缩放因子有关。所以该单自由度振动系统的位移响应和支座力响应也不固定，模态向量{φi}的缩放将导致响应数值发生变化。



图2 单自由度振动系统

2刚体位移模态参与因子的性质
如果我们不是使用全部的n阶模态，而是进行了模态截断，只使用前m阶模态，求得前m个qi。则得到的未知量的近似解{UT}为

进而可得

对比式(1)和式(8)，可知近似解{UT}所导致的载荷误差为

只要模态截断阶数m取得越大，则Σ{φi}γi就越接近{I}，则载荷误差{δf}就越小。所以有些情况下可以根据刚体位移模态参与因子来控制模态截断阶数。

刚体位移模态参与因子有以下几个特点：

1. 是一个单位的量，其单位为长度单位的倒数。

2. 结构模态可以任意缩放，所以刚体位移模态参与因子的取值也不唯一，各阶刚体位移模态参与因子之间也不存在固定比例关系。

3.各阶刚体位移模态参与因子之和通常也不是固定值。

4.虽然刚体位移模态参与因子取值不唯一，但刚体位移模态参与因子与模态矢量的乘积{φi}γi是固定的。

3有效模态质量的定义

第i阶模态质量的定义为

第i阶有效模态质量的定义如下

有效模态质量实际就是用刚体位移模态参与因子缩放后的模态γi{φi}代替原始模态{φi}后计算出的模态质量。

各阶有效模态质量的和等于系统总质量，证明如下。

因为各阶模态φi关于质量矩阵有正交性，即

再根据公式(3), 可得

将n阶有效模态质量叠加

也就是说n阶有效模态模态质量之和恰好等于系统的总质量。

4有效模态质量的物理意义

多自由度系统中各集中质量相对于基础的加速度为{Ü}基础的运动加速度为üb(t)，各集中质量的绝对加速度为{Ü+üb(t)}。因为该振动系统所受外力仅来源于基础，所以各集中质量的惯性力之和就是结构底部的支座力。

前面提到过，某阶模态向量乘以任意常数因子后仍然代表该阶模态振型，所以我们可以用{φie}={γiφi}代替第i阶模态向量{φi}。

显然{φie}所对应的刚体位移模态参与因子{γie}=1，即

我们用qie(t)表示模态向量{φie}的模态坐标，该阶模态对于位移{U}的贡献为qie(t){φie}，该阶模态对于刚体位移{I}的贡献为{φie}，代入式（16），求得该阶模态对于支座力的贡献为

其中Kie和Cie为模态向量{φie}所对应的模态刚度和模态阻尼

模态坐标qie可通过解耦后的方程求出

如果我们分别以Mie、Kie和Cie为质量、刚度和阻尼，建立一个单自由度振动系统，所受激励为基础加速度激励üb(t)，相对于基础的位移用z表示，如图3。则动力学方程为




图3 以有效模态质量建立的单自由度振动系统

求出z后，进而可求得该单自由度振动系统的支座力

将方程(20)和（18）与方程（21）和（22）对比，可知该单自由度系统的支座力，恰好就是多自由度振动系统第i阶模态所产生的支座力。

所以，一个承受基础激励的N自由度振动系统，可以解耦为N个以各阶有效模态质量为振动质量的单自由度振动系统，每个单自由度系统所产生的支座力与N自由度系统中该阶模态所产生的真实支座力是相等的，这就是有效模态质量的物理意义。

上述推导是假设每个集中质量只有一个自由度，所以多自由度系统只有一个刚体位移方向。对于实际的空间结构，刚体位移包含三个转动方向和三个平动方向，所以每阶有效模态质量都是一个6*6的矩阵。

5有效模态质量的适用范围
原则上有效模态质量是只针对约束模态的。对于自由状态的结构，其刚体位移只需要用刚体模态描述，不需要弹性模态。所以此时刚体模态的有效模态质量就是系统的总质量，各阶弹性模态的有效质量都为0。

从上面的推导过程可知，有效模态质量只适用于基础激励，并不适用于其他激励形式。所以有效模态质量的概念主要用于建筑物的抗震设计。对于汽车上的结构，只有少数工况才可以应用此概念，比如蓄电池支架在车辆颠簸时的振动响应。

对于多自由度系统，如果各阶模态的固有频率与激励频率的比值接近相等，各阶模态阻尼比也没有太大差异，则各阶模态所产生的支座力与其有效模态质量基本成正比。也就是说此时有效模态质量反映了各阶模态对于支座力的贡献。所以通常认为只要前m阶模态的有效模态质量之和达到系统总质量95%以上，其它高阶模态的影响可以忽略。很显然，采用有效模态质量法进行模态截断，可能会忽略掉对支座力贡献较小而对结构的变形和应力影响较大的某些模态。

如果各阶模态的固有频率与激励频率的比值并不接近，并且某阶模态频率与激励频率耦合，此时即使该阶有效模态质量比较小，该阶模态仍然会产生较大的变形、应力和支座力。这种情况下就不能采用有效模态质量来控制模态截断，而是要根据激励频率控制截断频率，通常我们将截断频率设置为最高激励频率的1.4倍。

6总结
1.有效模态质量只针对约束模态，只适用于承受基础激励的振动系统。

2.有效模态质量与刚体位移模态参与因子有密切关联。

3.各阶有效模态质量之和为系统的总质量。

4.利用有效模态质量建立的单自由度系统，其支座力与该阶模态所产生的真实支座力相等。

5..利用有效模态质量来控制模态截断频率是一种比较粗糙的方法，有效模态质量仅能反映各阶模态对于支座力的贡献，而且并不适用于某阶模态与激励频率耦合的情况。

作者简介
王朋波，清华大学力学博士，汽车结构CAE分析专家。重庆市科协成员、《计算机辅助工程》期刊审稿人、交通运输部项目评审专家。专业领域为整车疲劳耐久/NVH/碰撞安全性能开发与仿真计算，车体结构优化与轻量化，CAE分析流程自动化等。