模态空间│不同的模态指示函数有什么区别？

不同的模态指示函数之间有什么区别？它们又分别有什么用处呢？
我们来讨论一下这个问题。



这是一个不错的问题，模态指示函数非常重要。在试验模态分析中进行数据缩减时，通常要用到几种不同的模态指示函数，我们将对这每一种指示工具的优缺点进行讨论，并展示它们是如何对数据进行解析的。

通常，我们可以从测得的频响函数中识别模态参数，但是在只有一个频响函数的情况下，却很难确定具体有多少阶模态。使用一个频响函数进行识别存在一些问题，因为在某个测得的频响函数中，有可能没有激起所有阶的模态。模态可能具有方向性，很难能从一次测试结果中就观察到所有阶模态。这种问题在驱动点测量中尤为普遍，因为所有的峰值处的相位相同，空间上非常靠近的两阶模态可能很难识别出来。因此，为了有助于进行极点的选择，这些年来开发出很多不同的工具。主要有：

SUM —和函数
MIF —模态指示函数
MMIF —多变量模态指示函数
CMIF —复模态指示函数
SD —稳态图

下面我们来进行逐一讨论。以图1所示的简单平板为例，其中存在一些密集模态，这些密集模态对所有的指示工具来说都较为困难，使用两台激振器和15个加速度传感器对平板进行MIMO测试。


图1 设置两个参考点的平板MIMO试验

首先讨论和函数（SUM），这是一个很简单的公式，从本质上讲，它是所测的全部频响函数之和（有时只涉及部分频响函数）。在系统模态频率处，SUM函数会出现一个峰值。根据这个思路，如果考虑所有的频响函数，那么所有模态在绝大多数频响函数中都是可见的。包含的频响函数越多，则在频响函数的SUM中观察到所有阶模态的概率越大。这显然优于使用单条FRF，某些情况下在单条FRF曲线中不是所有的模态都可见。

所有测得的SUM如图2所示，SUM能够合理区分开各阶模态，尤其是在模态较为稀疏的时候。图中可以看到5个峰，这表明在所示的频带范围内至少有5阶模态；SUM的另一个重要的特点是各个峰宽相差不多，如果存在密集模态，就可能无法很好地指示出所有阶模态。


图2 2个参考点和15个加速度测点的和函数

尽管SUM很有用，但是它并不能很清晰地区分密集模态，为了更好地进行区分，提出了最初的模态指示函数（MIF）。从本质上讲，MIF的数学公式就是频响函数的实部除以频响函数的幅值。由于实部在共振区快速穿过零点，MIF在某阶模态附近会发生剧变，共振时频响函数的实部为零。因此，MIF将在某阶模态附近将下降至最小值。MIF扩展之后就是多变量模态指示函数（MMIF），即针对多参考点频响函数数据的MIF的扩展。MMIF函数同样遵循单个MIF函数的基本特征，它的最大优点就是多参考点数据会有多个MIF（每个参考点各有一个），可以有效识别出重根，如图3所示。


图3 2个参考点和15个加速度测点的MMIF

如果第一个MIF下降，表明此处有一个系统极点。图3中MIF1（红色）的每一次下降都指示了系统的一阶模态，注意函数中有6个下降点，比和函数中观察到的多一个。显然，在300Hz附近有一阶密集模态，在SUM中没有被清晰地识别出来。

现在，如果第二个MIF在与第一个MIF同样的频率处下降，那么表明该频率处有一个重根（或伪重根）。显然，图3中第二个MIF（绿色）表明MIF中的第一个靠近100Hz的下降点有一个重根（注意SUM在这个范围内仅仅指出了一阶模态）。然而，第二个MIF的另一个向下坠落的小尖峰出现在300Hz附近，但这并不表明300Hz处存在一阶模态，因为第二个MIF向下坠落的频率与第一个MIF向下坠落的频率不同，指示重根的两个MIF必须在同一个频率处同时向下坠落。

MMIF则是一种更为精确的模态指示工具，但前提是共振时频响函数的实部为零，如果测量结果有一定失真或者测量结果中显示出一些相位信息（跟非实部的正则模态或复模态有关），那么MMIF可能不能准确地指示出这些模态。

这种情况下，复模态指示函数（CMIF）是一个更有效的工具，CMIF基于FRF矩阵的奇异值分解方法确定FRF中观测到的所有主模态。奇异值图也有助于确定系统的极点，CMIF最大峰值存在的位置指示的就是系统的极点，每个参考点都有一个CMIF曲线，如图4所示。


图4 3个参考点和15个加速度测点的CMIF

显然，两个CMIF曲线在100Hz附近都产生峰，表明在100Hz附近有两个共振峰。在300Hz附近，有迹象表明此处有两阶（或者三阶）模态。在特定的频率范围内，CMIF更加明确地指示出了极点的数目。

所有的工具都有助于极点的提取。最后一个工具是稳态图（SD），其基本原理是如果极点是系统的全局特征，那么从模态阶数不断增长的数学模型中提取的极点将随着模态阶数的增加而重复出现。随着模型阶数的增加，其它指示工具将不具备这种连续指示的特点。当极点变为稳定的状态时，这些特征图将更加准确地指示出系统的极点。图5展示出了一个比之前更窄的频带内的稳态图，注意在100Hz附近有重根，另外在300Hz附近也存在一对重根（在以后的文章中我们将讨论稳态图的更多细节）。所以这再次证实了从MMIF和CMIF得到的结果。


图5 频响函数的稳态图

我们需要讨论的内容还有很多，这篇文章已经对大部分的模态指示工具进行了解释，如果你有关于模态分析的其它任何问题，欢迎垂询。